Аналоги меры Лебега на гильбертовом пространстве и усреднение случайных операторов сдвига

Изучаются меры на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве E, инвариантные относительно сдвигов на произвольные векторы пространства. Определено гильбертово пространство H комплекснозначных функций на пространстве E, квадратично интегрируемых по некоторой инвариантной относительно сдвигов мере.
Определены математические ожидания операторов сдвига на случайные векторы, распределения которых задаются полугруппами (относительно свертки) гауссовских мер на пространстве E. Установлено, что такие математические ожидания образуют полугруппу самосопряженных сжатий в пространстве H. Получен критерий сильной непрерывности таких полугрупп и исследованы свойства их генераторов, представляющих собой самосопряженные обобщения операторов Лапласа на случай функций бесконечномерного аргумента. Введены аналоги пространств Соболева и пространств гладких функций. Получены условия вложения и плотного вложения пространств гладких функций в пространства Соболева. Введенные функциональные пространства применены в задачах аппроксимации полугрупп математическими ожиданиями от случайных процессов.