Гипотеза Като о квадратном корне из оператора

В теории полугрупп операторов возникает следующий вопрос: «Верно ли, что область определения квадратного корня из регулярно аккретивного оператора равна области определения квадратного корня из сопряженного оператора?». Этот вопрос был сформулирован Т. Като в 1961 году и получил название проблемы Като или гипотезы Като о квадратном корне из оператора. Достаточные условия выполнения гипотезы Като рассматривались Т. Като, Ж. Лионсом, А. Яги и другими. Ж. Лионс доказал, что сильно эллиптические дифференциальные операторы с гладкими коэффициентами и однородными условиями Дирихле на гладкой границе удовлетворяют гипотезе Като. В 1972 году А. Макинтош построил контрпример абстрактного регулярно аккретивного оператора для которого гипотеза Като не верна. Поэтому в дальнейшем исследования в этом направлении были направлены в основном на нахождение новых классов регулярно аккретивных операторов, удовлетворяющих гипотезе Като. Для сильно эллиптических дифференциальных операторов с измеримыми ограниченными коэффициентами соответствующий результат был получен в 2002 году П. Ошером, С. Хофманом, А. Макинтошем и П. Тшамитшианом.
В настоящем докладе будут рассмотрены новые классы регулярно аккретивных операторов, удовлетворяющих гипотезе Като: сильно эллиптические функционально-дифференциальные операторы с условиями Дирихле, эллиптические дифференциально-разностные операторы с вырождением, а также сильно эллиптические дифференциально-разностные операторы со смешанными краевыми условиями. Будет установлена связь краевых задач для соответствующих уравнений с нелокальными эллиптическими краевыми задачами.