О группах $G_{n}^{k}$, $\Gamma_{n}^{4}$, диаграммах Вороного и группе триангуляций

В своих предыдущих работах я построил группы $G_{n}^{k}$ и провозгласил принцип "Если динамика движения n частиц допускает хорошее свойство коразмерности 1, регулируемое k частицами, то такая динамика имеет топологические значения со значениями в группах $G_{n}^{k}$".
Этот подход не работает при рассмотрении движения точек в двумерных поверхностях, отличных от евклидовой плоскости и проективной плоскости
В связи с этим мною были введены группы $\Gamma_{n}^{4}$, отвечающие свойству "Четыре ближайшие точки лежат на одной окружности".
Я расскажу о связях представлений групп $\Gamma_{n}^{4}$ с группами $G_{n}^{k}$, со структурой множества регулярных триангуляций двумерных многогранников, соотношениями пентагона, тождеством Птолемея и, если успею, с кластерными алгебрами.
Если успею, я также затрону вопрос о "многообразиях триангуляций" в старших размерностях и группах $\Gamma_{n}^{k}$, $k>4$.