Гомологии колец Стенли-Райснера и торическая топология

В конце 1950-х годов Серр показал, что ряд Пуанкаре коммутативного нетерова локального кольца мажорируется некоторой рациональной функцией, зависящей от чисел Бетти комплекса Кошуля и наименьшего числа образующих максимального идеала. В 1962 году Голод доказал, что неравенство Серра обращается в равенство тогда и только тогда, когда умножение и все произведения Масси в гомологиях комплекса Кошуля тривиальны. С этого времени важнейшими задачами теории гомологий локальных колец стали гипотеза Серра-Капланского, утверждающая рациональность рядов Пуанкаре локальных колец, а также задача эффективного вычисления рациональных рядов Пуанкаре. В 1982 году Бакелин доказал рациональность рядов Пуанкаре мономиальных колец; к их числу относятся и кольца Стенли-Райснера симплициальных комплексов.
В докладе будет рассказано о связи указанных алгебраических проблем с торической топологией. Будет показано, как объекты и методы торической топологии позволяют интерпретировать имеющиеся результаты о рядах Пуанкаре и гомологиях колец Стенли-Райснера, а также получать новые результаты.
Доклад основан на совместных работах с В.М.Бухштабером и Т.Е.Пановым.