Короткие $SL_2$-структуры на простых алгебрах Ли

В теории алгебр Ли одну из важных ролей занимает классическая конструкция Титса–Кантора–Кёхера, позволяющая по простой йордановой алгебре $J$ построить простую алгебру Ли $\mathfrak g$, имеющую следующий вид:
$\mathfrak g = \operatorname{Der}(J) \oplus \mathfrak{sl}_2(J).$
Конструкцию Титса–Кантора–Кёхера можно интерпретировать как линейное представление алгебры $\mathfrak{sl}_2(\mathbb C)$ на алгебре Ли $\mathfrak g$, которое разлагается на неприводимые представления размерностей $1$ и $2$.
Естественным обобщением данного линейного представления является понятие $S$-структуры на алгебре Ли, где $S$ — редуктивная алгебраическая группа. Говорят, что на алгебре Ли $\mathfrak g$ задана короткая $S$-структура, если определён гомоморфизм $\Phi \colon S \to \operatorname{Aut}(\mathfrak g)$.
В качестве $S$ возьмём группу $SL_2(\mathbb C)$. Дифференциал отображения $\Phi$ задаёт линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ в $\mathfrak g$. Назовём $SL_2$-структуру короткой, если представление $d\Phi$ разлагается на неприводимые представления размерностей 1, 2 и 3. Нашей задачей будет изучить внутреннее устройство простой алгебры Ли, на которой задана короткая $SL_2$-структура.