О гипотезе Береста для эллиптических и гиперэллиптических кривых

В докладе рассказывается о нескольких результатах, связанных с одной гипотезой Ю. Береста, некоммутативным аналогом гипотезы Морделла. Пусть $A = K[x][\partial]$ – первая алгебра Вейля. Рассмотрим многочлен общего вида от двух переменных $f(X,Y) = 0$, у которого есть решение в $A$. Каждое такое решение – пара коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов в $A$. Утверждается, что пространство орбит действия группы $\mathrm{AUT}(A)$ на пространстве решений этого уравнения бесконечно, если род соответствующей спектральной кривой равен $1$, и конечен иначе. Эта гипотеза тесно связана с известной гипотезой Диксмье для алгебр Вейля. Она верна для спектральных кривых рода один, а для кривых большего рода построены контрпримеры.