Упаковки шаров, контактные числа и смежные задачи

В докладе предполагается обсудить проблему упаковки шаров и проблему упаковки сферических шапочек на сфере. Вопрос о контактном числе является важным частным случаем: спрашивается, какое наибольшее число равных шаров в n-мерном евклидовом пространстве может касаться одного шара того же размера. Контактное число в размерности 3 явилось предметом знаменитой дискуссии между И. Ньютоном и Д. Грегори в 1694 г. После нескольких ошибочных «доказательств» Шютте и Ван дер Варденом в 1953 г. было доказано, что это число равно 12. В 1970-х годах был предложен новый подход в теории кодирования: так называемый метод Дельсарта, и с его помощью нашли верхние границы для плотности упаковки шаров и контактные числа в размерностях 8 и 24.
Будет рассказано о работах докладчика по обобщению метода Дельсарта для сферических упаковок и, в частности, о решении задачи контактных чисел в размерности 4. Мы также собираемся обсудить проблему Таммеса и контактные графы, а также новые идеи по решению задачи оптимальной упаковки шаров в размерности 4.