Вариации инварианта Годбийона–Вея для слоеных многообразий

Пусть гладкое трехмерное многообразие $M$ оснащено векторным полем $T$, трансверсальным к полю плоскостей $D$ — ядру $1$-формы $\omega$ на $M$, такой что $\omega(T)=1$. Мы строим $3$-форму $\eta\wedge d\eta$, аналогичную той, которая задает инвариант Годбийона–Вея для слоения $GV$, см. [1], показываем, как эта форма зависит от $\omega$ и $T$, и выводим уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала $GV(D,T)=\int_M\eta\wedge d\eta$. В.Терстон [5] построил однопараметрическое семейство слоений на $3$-х мерной сфере с числом Годбийона–Вея, принимающим все значения в интервале. Мы рассматриваем функционал $GV$ для различных типов вариаций, например, когда $D$ меняется во множестве интегрируемых распределений на $M$ (в этом случае, $T$ можно зафиксировать) или когда неинтегрируемое поле плоскостей $D$ фиксировано, а риманова метрика изменяется произвольно на $M$, и приводим примеры критических точек, см. [2]. Результаты применимы к инварианту Ботта трансверсально голоморфного потока на $M$. Все это может быть сделано для распределений, слоений и дифференциальных форм с особенностями при дополнительном предположении сходимости некоторых интегралов, см. [3]. Также мы показываем, как обобщить результаты на случай $(2q + 1)$-мерного многообразия $M$, снабженного $(q+1)$-мерным распределением $D$ (ядром $q$-формы $\omega$ и полем $q$-вектора $T=T_1\wedge\cdots\wedge T_q$ (с линейно независимыми векторными полями $\{T_i\}$, трансверсальными к распределению $D$) и такими, что $\omega(T)=1$, см. [4].

Литература

• Godbillon C. and Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension $1$, C. R. Acad. Sci. Paris, Comptes Rendus, ser. A, 273 (1971), 92–95.
• Rovenski V. and Walczak P. A Godbillon-Vey type invariant for a $3$-dimensional manifold with a plane field, 2017, ArXiv:1707.04847.
• Rovenski V. and Walczak P. Variations of the Godbillon-Vey invariant of foliated $3$-manifolds, 2018, Complex Analysis and Operator Theory, https://doi.org/10.1007/s11785-018-0871-9.
• Rovenski V. and Walczak P. Variations of the Godbillon-Vey invariant of foliated manifolds, 2019, preprint.
• Thurston W. Noncobordant foliations of $S^3$, Bull. AMS, 78, No. 4 (1972), 511–514.