Многообразия триангуляций и многомерные косы (по совместной работе с И. М. Никоновым)

Динамика движения точек на двумерной поверхности естественным образом описывается группой кос — фундаментальной группой конфигурационного пространства. В докладе для каждого риманова многообразия $M^{n}$ произвольной размерности для произвольного достаточно большого числа $N$ мы строим многообразие триангуляций — открытое многообразие размерности $Nn$, получаемое удалением из конфигурационного пространства $N$ точек в $M^{n}$ некоторого подмножества коразмерности 2. Многообразие триангуляций можно также определить для любого класса многообразий (топологического, гладкого и т.д). Его фундаментальная группа, которую мы называем группой кос многообразия по построению является инвариантом данного многообразия M. В докладе строятся “универсальные” группы $\Gamma_{N}^{k}$, отвечающие движению $N$ точек в $(k-2)$-мерном пространстве. Имеется каноническое отображение любой из групп кос (топологических, гладких и т.д.) в группу $\Gamma_{N}^{k}$. Образ этого отображения также представляет класс инвариантности. Образующие в группах $\Gamma_{N}^{k}$ отвечают моментом перестройки триангуляции Делоне, соотношения — вырождениям коразмерности два. Содержательный пример доставляют уже группы $\Gamma_{N}^{4}$, в которые отображаются группы обычных кос для двумерных поверхностях. (Бесконечномерные) представления групп $\Gamma_{N}^{4}$ связаны с соотношениями Птолемея, тождеством пентагона, кластерными алгебрами и многими другими центральными понятиями современной науки. В конце доклада приводится большое количество нерешенных задач.