Отображения трёхмерных многообразий, имеющие заданные особенности Тома-Бордмана

Пусть нам даны замкнутые трёхмерные многообразия $M$, $N$ и непрерывное отображение $f:M\to N$. Мы хотим понять, гомотопно ли $f$ некоторому бордмановскому отображению с заданными особенностями, т.е. имеющему заданные множества складок $S$, сборок $C$ и ласточкиных хвостов $P$ (где $S\subset M$, $C\subset S$ и $P\subset C$ – гладкие подмногообразия коразмерности 1). Оказывается, ответ на этот вопрос легко формулируется в терминах классов когомологий $S$, $C$ и $P$, первых классов Штифеля-Уитни $M$ и $N$ и образа последнего при $f^*$.
В докладе я буду использовать теорему об отображениях с заданными бордмановскими особенностями, план доказательства которой я рассказывал на семинарах 1 и 8 февраля. Если позволит время, я расскажу как это самое доказательство работает в трёхмерном случае.
Никаких специальных предварительных знаний не требуется, достаточно понимать что такое морфизмы векторных расслоений и классы Штифеля-Уитни, а как устроены бордмановские особенности в размерности 3 я на картинке нарисую.