Инварианты Татта-Гротендика и модели Поттса-Изинга

Определим модель Поттса-Изинга в формализации Бриггса на произвольном графе $\Gamma$ следующим образом: в каждой вершине $v$ графа $\Gamma$ зафиксируем некоторое значение $a(v)$ (для каждой вершины своё) из кольца $A = \mathbb{Z}_n$, совокупность всех значений в вершинах назовем состоянием $\sigma$. Энергией состояния $\sigma$ назовем величину $H(\sigma)=\prod i(\delta(vw))$, где произведение ведется по всем ребрам $vw$ графа $\Gamma$ (ребро $vw$ соединяет вершины $v$ и $w$), $\delta(wv)=a(v) - a(w)$, и функция $i: \mathbb{Z}_n \to \mathbb{C}$ определяется по такому правилу: $\forall b\ne 0 \in \mathbb{Z}_n$ $i(b) = \beta$ и $i(0) = \alpha$. Статсуммой назовем величину $Z_{\Gamma} = \sum_{\sigma}H(\sigma)$, где суммирование ведется по всем состояниям $\sigma$.
Удивительным образом, введенная статсумма имеет тесную связь с инвариантами Татта-Гротендика, которая позволяет взглянуть, с одной стороны, на физическую задачу – изучение статсуммы модели Поттса-Изинга, с чисто комбинаторной точки зрения, и обратно – изучать вопросы комбинаторики с помощью методов, разработанных физиками. В докладе мы поговорим о чисто комбинаторных свойствах статсуммы модели Поттса-Изинга. Так будет дано определение инвариантов Татта-Гротендика, будет доказана связь между ними и статсуммой модели Поттса-Изинга. С помощью этой связи будет дано новое простое доказательство (или хотя бы его набросок) теоремы Матиясевича о связи хроматического и потокового полиномов, также будет рассказано, как получить целое семейство теорем типа Матиясевича несложным регулярным образом. Если останется время, также будет рассказано о комбинаторном объяснении дуальности Крамерса-Ванье, которая позволяет связывать специальным образом модели Поттса-Изинга на разных графах, и о некоторых других комбинаторных дуальностях.