Голоморфные слоения на комплексных момент-угол-многообразиях

Момент-угол-многообразия дают широкий класс примеров некэлеровых компактных комплексных многообразий. Комплексное момент-угол-многообразие $Z$ задаётся некоторым набором комбинаторно-геометрических данных, называемых полным симплициальным веером. В случае рациональных вееров многообразие $Z$ является тотальным пространством голоморфного расслоения над торическим многообразием со слоем компактный комплексный тор. В этом случае инварианты комплексной структуры на $Z$, такие как когомологии Дольбо и числа Ходжа, могут быть описаны при помощи спектральной последовательности Бореля голоморфного расслоения.
В общем случае на комплексном момент-угол-многообразии $Z$ имеется каноническое голоморфное слоение $F$, эквивариантное под действием алгебраического тора. Примеры момент-угол-многообразий включают многообразия Хопфа, Калаби-Экманна и их деформации. Пара $(Z,F)$ из многообразия и голомофрного слоения также изучалась как модель для некоммутативных торических многообразий в работах Katzarkov, Lupercio, Meersseman, Verjovsky (arXiv:1308.2774) и Ratiu, Zung (arXiv:1705.11110).
Мы строим трансверсально кэлеровым метрики на момент-угол-многообразиях $Z$ при некоторых ограничениях на комбинаторные данные. Затем доказываем, что любое кэлерово подмногообразие в таком момент-угол-многообразии лежит в листе слоения $F$. Для общего момент-угол-многообразия $Z$ в своём комбинаторном классе мы доказываем, что все его подмногообразия являются момент-угол-многообразиями меньшей размерности и их конечное число. Это влечёт, в частности, что $Z$ не допускает непостоянных мероморфных функций, т.е. его алгебраическая размерность равна нулю.
Battaglia, Zaffran (arXiv:1108.1637) вычислили базисные числа Бетти для канонического голоморфного слоения на момент-угол-многообразии $Z$, соответствующем расщепляемому (shellable) вееру. Ими была высказана гипотеза, что кольцо базисных когомологий в случае произвольного симплициального веера имеет тот же вид, что и кольцо когомологий полного симплициального торического многообразия (даваемое теоремой Данилова-Юркевича). Мы доказываем эту гипотезу. Доказательство использует спектральную последовательность Эйленберга-Мура; ключевым утверждением здесь является формальность модели Картана для действия тора на $Z$.
Доклад основан на совместных работах с Hiroaki Ishida, Романом Крутовским, Юрием Устиновским и Михаилом Вербицким.