Геометрия полная симметрической системы Тоды на группах и теория представлений

Полная симметрическая система Тоды — это обобщение обыкновенной ("трехдиагональной") системы Тоды, заключающееся в рассмотрении произвольной симметрической матрицы в качестве матрицы Лакса, (более общо, можно определить подобные системы, связанные с разложением Картана вещественной алгебры Ли). Несколько неожиданно оказывается, что эта система (число степеней свободы в которой пропорционально квадрату размера матриц) является интегрируемой гамильтоновой системой; известные системы интегралов в инволюции (рациональные функции, получаемые процедурой "чоппинга" и некоторыми другими) выглядят довольно неожиданно. Я расскажу о недавних результатах, в которых мы даем описание системы векторных полей, коммутирующих с векторным полем системы Тоды; наше описание вполне геометрично и основано на структуре представлений данной алгебры Ли. Кроме того, если хватит времени я расскажу про связь между полной системой Тоды и структурой порядка Брюа на группах Вейля.