О первопорядковой выразимости выполнимости в подмоделях

Пусть $\kappa,\lambda$ – регулярные кардиналы, $\lambda\le\kappa$, пусть $\varphi$ – предложение языка $L_{\kappa,\lambda}$ в заданной сигнатуре, и пусть $\vartheta(\varphi)$ выражает то, что $\varphi$ выполняется в некоторой подмодели, т. е. произвольная модель $\mathfrak A$ в этой сигнатуре удовлетворяет $\vartheta(\varphi)$, если и только если некоторая подмодель $\mathfrak B$ модели $\mathfrak A$ удовлетворяет $\varphi$. В работе [1] было показано, что если $\varphi$ – предложение языка $L_{\kappa,\omega}$ в сигнатуре, содержащей менее, чем $\kappa$ функциональных символов (и произвольное число предикатных символов), то $\vartheta(\varphi)$ равносильно монадическому экзистенциальному предложению языка второго порядка $L^{2}_{\kappa,\omega}$, а также что для всякой сигнатуры, содержащей хотя бы один двухместный предикатный символ, найдётся такое предложение $\varphi$ языка $L_{\omega,\omega}$, что $\vartheta(\varphi)$ не равносильно никакому предложению языка (первого порядка) $L_{\infty,\omega}$. Тем не менее, в определённых случаях $\vartheta(\varphi)$ оказывается первопорядково выразимым. В докладе, основанном на работе [2], мы предоставим различные (как синтаксические, так и семантические) критерии того случая, когда $\vartheta(\varphi)$ равносильно предложению языка $L_{\kappa,\kappa}$, где $\kappa$ есть либо $\omega$, либо, более общим образом, компактный кардинал.
[1] D. I. Saveliev, I. B. Shapirovsky, *On modal logics of model-theoretic relations*, 2018, arXiv:1804.09810.
[2] D. I. Saveliev, *On first-order expressibility of satisfiability in submodels*, 2019, arXiv:1903.04993.