О границах применимости второй теоремы Гёделя о неполноте

Теоремы Гёделя о неполноте являются одним из наиболее известных результатов математической логики. Настоящий доклад будет посвящен второй теореме о неполноте — утверждению о том, что ни одна достаточно сильная непротиворечивая формальная система не может доказать формализацию утверждения о собственной непротиворечивости. Для того чтобы неформальное утверждение из предыдущего предложения стало строгим математическим результатом, ряд его частей должен быть уточнен: какие формальные системы рассматриваются, какие из них считаются достаточно сильными, какие формулы рассматриваются как формализации утверждения о непротиворечивости. В первой половине доклада будет дан обзор некоторых математических результатов являющихся такого рода уточнениями. Во второй половине доклада будет рассказано о предложенном докладчиком примере теории, которая доказывает собственную непротиворечивость и тем самым избегает всех известных форм второй теоремы о неполноте. Построенная теория является достаточно естественной слабой теорией множеств, в которой натуральные числа интерпретируются конечными ординалами и которая доказывает естественную арифметизацию утверждения о собственной непротиворечивости.