Справедливое деление двумерного выпуклого пирога

Индийские любители математики Нандакумар и Рамана Рао поставили в 2008 году задачу о делении выпуклого плоского пирога на $m$ выпуклых частей равной площади и периметра. В докладе мы обсудим существование решения этой задачи.
Нандакумар и Рамана Рао сами указали, что для $m=2$ задача решается простым соображением непрерывности, а для $m=4$ и больших степеней двойки дали некоторое рассуждение. На самом деле справедливое деление пирога на степень двойки частей было установлено в 2003 году Михаилом Громовым как частный случай утверждения о делении меры на "блины", которое Громов использовал для доказательства теорем о поперечнике гауссовой меры и о поперечнике сферы.
Случай справедливого деления на три части был сделан Баранем, Благоевичем и Сючем в 2010 году. Случай $m$, равного степени простого, доделывался несколькими соавторами (Аронов, Убард, Благоевич, Циглер, Карасёв) в двух публикациях. Хотя можно заметить, что основная топологическая лемма, нужная для решения задачи в случае степени простого, уже имелась в работе Виктора Васильева 1988 года про топологическую сложность нахождения корней многочленов от одного комплексного переменного.
Публикации по случаю степени простого вышли в 2014 году и после этого продвижения по задаче застопорились. Ситуация на первый взгляд была аналогична "топологической теореме Тверберга", в которой для $m$, не являющихся степенью простого, в итоге удалось построить контрпримеры (правда в достаточно больших размерностях). Однако в 2018 году у нашего коллектива появились новые идеи, которые позволили доделать задачу Нандакумара и Раманы Рао для произвольного количества частей $m$.
Для решения этой задачи нам нужно делать равными многозначные функции, графики которых в определённом смысле гомологичны графикам однозначных функций, это будет пояснено в докладе. Задача на плоскости оказалась решена, но её трёхмерный аналог (разделить выпуклое тело в трёхмерном пространстве на выпуклые тела равных объёмов, площадей поверхности и средних ширин) пока сделан только в случае, когда $m$ является степенью простого, а для $m=6$ открыт.
Доклад по совместной работе с Арсением Акопяном и Сергеем Аввакумовым (Институт науки и техники Австрии).