Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы и топологические биллиарды. Гипотеза А.Т. Фоменко.

Интегрируемые системы с двумя степенями свободы на изоэнергетических трехмерных поверхностях классифицируются инвариантами, т.н. «мечеными молекулами». В последнее время был обнаружен важный класс топологических интегрируемых биллиардов. Оказывается, такие биллиарды лиувиллево эквивалентны многим интересным интегрируемым системам в механике и симплектической геометрии (то есть такие эквивалентные системы имеют одинаковые замыкания почти всех интегральных траекторий). Опираясь на уже полученные результаты, А.Т.Фоменко сформулировал гипотезу из 6 пунктов, первый из которой уже доказан, а в остальных получены интересные продвижения. Приведем первые 3 пункта. Гипотеза A (атомы). Любые бифуркации двумерных торов Лиувилля в изоэнергетическом 3-многообразии любой интегрируемой невырожденной системы с двумя степенями свободы моделируются при помощи интегрируемых бильярдов. Это означает, что сравниваемые слоения Лиувилля послойно диффеоморфны. Гипотеза B (грубые молекулы). Любые грубые молекулы, задающие множество всех интегрируемых систем с точностью до грубой эквивалентности – моделируются интегрируемыми биллиардами. Гипотеза C (меченые молекулы). Все слоения Лиувилля невырожденных интегрируемых систем на изоэнергетических 3-поверхностях послойно диффеоморфны (т.е. лиувиллево эквивалентны) соответствующим слоениям некоторого топологического биллиарда. Любой ответ на эти гипотезы интересен. Например, если выяснится, что не все «меченые молекулы» реализуются биллиардами, то полезно описать класс реализуемых систем. При этом обнаружатся топологические препятствия, различающие реализуемые и нереализуемые слоения Лиувилля. Станет ясно - какие невырожденные интегрируемые системы лиувиллево эквивалентны интегрируемым биллиардам, а какие - нет. В докладе будут представлены текущие результаты по доказательству (или опровержению) этих гипотез. Так, в частности, гипотеза В доказана "почти полностью"; а именно, получено доказательство для молекул, состоящих из т.н. атомов без звездочек, описывающих бифуркации с ориентируемыми сепаратрисными диаграммами. Будет также рассказано, что интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях лиувиллево эквивалентны подходящим топологическим биллиардам.