Теория КАМ для начинающих. Лекция 1

Теория Колмогорова–Арнольда–Мозера отвечает на вопросы типа «Могут ли планеты упасть на Солнце? Если да, то с какой вероятностью? И через какое время?» Математическая постановка задачи: предположим, что массы столь малы, что их притяжением друг к другу можно пренебречь. Тогда траектории движения планет можно посчитать; это сделал ещё Ньютон. Если перейти к реальному случаю, когда взаимное притяжение планет влияет на их орбиты, получится малое возмущение интегрируемой, т.е. точно решаемой, системы. Исследование малых возмущений интегрируемых систем классической механики Пуанкаре считал основной задачей теории дифференциальных уравнений.
Колмогоров предположил, что «большинство» решений возмущённой системы имеет во многом такие же свойства, как и решения невозмущённой. Он предложил стратегию доказательства этого факта. Замысел Колмогорова независимо осуществили и расширили Арнольд и Мозер. Так возникла теория КАМ. Её область применений далеко выходит за рамки задач небесной механики. В частности, теория КАМ позволяет доказать, что «большинство диффеоморфизмов (т.е. отображений, гладких вместе с обратным) окружности на себя в определённом смысле являются простыми поворотами». Этому приложению была посвящена первая работа Арнольда по теории КАМ с подзаголовком «Малые знаменатели I».
В лекциях будет рассказано, на уровне, доступном старшим школьникам, об основных идеях теории КАМ. Мы не поднимемся до задачи $n$ тел и классической механики, но обсудим диффеоморфизмы окружности и основной шаг индукционного процесса, предложенного Колмогоровым для задач небесной механики. На двух лекциях будет предложено большое количество элементарных задач, которые затем будут обсуждены на занятии.