О множествах, разность которых не содержит квадратов, и нижних оценках винеровской нормы в $\mathbb{Z}_p^d$

Доклад посвящен двум главам кандидатской диссертации и будет состоять из двух частей.
1. Пусть $A\subset\mathbb{Z}_p$ таково, что $A-A$ не содержит ненулевых квадратичных вычетов; тогда легко показать, что $|A|<p^{1/2}$. Аналогичную задачу можно рассмотреть в кольце вычетов по составному модулю. Усиливая результаты предшественников, мы получаем "почти корневую" оценку на размер таких множеств для почти всех модулей.
2. Задача получения нижних оценок винеровской нормы ($l_1$-нормы преобразования Фурье) характеристических функций подмножеств $\mathbb{Z}_p$ изучалась в работах Б.Грина и С.В.Конягина, Т.Сандерса, С.В.Конягина и И.Д.Шкредова, Т.Шоэна. Мы обсудим результаты в многомерном случае.