Выпуклая тригонометрия в задачах с двумерным управлением

Доклад будет посвящен явному интегрированию уравнений принципа максимума Понтрягина в задачах с двумерным управлением. Задачи с одномерным управлением очень часто могут быть доведены до аналитического ответа. Задачи с двумерным управлением поддавались точному исследованию намного хуже – исключением можно считать задачи с неограниченным управлением, управлением из круга и, реже, с управлением из квадрата. Если же множество допустимых управлений имеет более сложную структуру, то обычно это вызывает большое количество плохо преодолимых технических трудностей. Так в случае произвольного выпуклого многоугольника для точного решения приходится долго и кропотливо рассматривать все возможные скачки управления с одной вершины на другую.
На докладе я расскажу о новом, очень простом языке, позволяющем удобно описывать движение точки по границе двумерного выпуклого множества. Он связан с обобщением классических тригонометрических функций $\cos$ и $\sin$ с круга на произвольное двумерное выпуклое компактное множество $\Omega$. В 2018 г. с помощью этих функций мне удалось проинтегрировать несколько субфинслеровах задач. В 2019 г. вместе с Ю.Л. Сачковым и А.А. Ардентовым нам удалось найти решения еще порядка 10 классических задач с двумерным управлением из $\Omega$, которые до этого момента решались только в случае, когда $\Omega$ – круг. В качестве примеров я приведу задачу о финслеровой длине на плоскости Лобачевского, задачу Дидоны с финслеровой длиной, задачу на группе Картана и другие.