Справедливое деление двумерного выпуклого пирога

Доклад основан на совместной работе с Арсением Акопяном и Сергеем Аввакумовым (Институт науки и техники Австрии).
Индийские любители математики Нандакумар и Рамана Рао поставили в 2008 году задачу о делении выпуклого плоского пирога на m выпуклых частей равной площади и периметра. В докладе мы обсудим эту задачу и близкие к ней вопросы.
Нандакумар и Рамана Рао сами указали, что для m=2 задача решается простым соображением непрерывности, а для m=4 и больших степеней двойки дали некоторое рассуждение. На самом деле справедливое деление пирога на степень двойки частей было установлено (неявно) в 2003 году Михаилом Громовым как частный случай утверждения о делении меры на "блины", которое Громов использовал для доказательства теоремы о поперечнике гауссовой меры и сферы.
Случай справедливого деления на три части был сделан Баранем, Благоевичем и Сючем в 2010 году. Случай m, равного степени простого, обобщающий все известные на тот момент результаты, доделывался разными людьми (Аронов, Убард, Благоевич, Циглер, Карасёв). Хотя опять таки, основная топологическая лемма, нужная для решения задачи в случае степени простого, уже имелась в работе Виктора Васильева 1988 года про топологическую сложность нахождения корней многочленов от одного комплексного переменного.
Публикации по случаю степени простого вышли в 2014 году и после этого продвижения по задаче застопорились. Ситуация на первый взгляд была аналогична "топологической теореме Тверберга", в которой для m, не являющихся степенью простого, в итоге удалось построить контрпримеры (правда в достаточно больших размерностях). Однако в 2018 году у нашего коллектива появились новые идеи, которые позволили доделать задачу Нандакумара и Раманы Рао для произвольного количества частей m.
Например, доказательство случая m=6 выглядит достаточно элементарно и по возможности будет изложено полностью. Доклад основан на препринте https://arxiv.org/abs/1804.03057