Выпуклость чебышёвских множеств и солнц по касательным направлениям

Направление $d$ называется касательным направлением к единичной сфере $S$, если из условия что $s\in S$ и условия, что $\operatorname{lin}(s+d)$ – опорная прямая к сфере $S$ в точке $s$ вытекает, что $\operatorname{lin}(s+d)$ – полукасательная прямая к сфере $S$, т.е. является пределом секущих в точке $s$. Множество $M$ называется выпуклым по направлению $d$, если из того, что $x,y\in M$, $(y-x)\parallel d$, вытекает, что $[x,y]\subset M$. Множество называется чебышёвским, если для любой точки из пространства в нем существует и единственна ближайшая точка. Устанавливается, что в произвольном линейном Множество $M$ называется солнцем, если для любой точки $x\notin M$ существует ближайшая точка $y$ из $M$ для $x$ такая, что $y$ является ближайшей точкой из $M$ для любой точки из луча, начинающегося в $y$ и проходящего через $x$. В конечномерном пространстве чебышёвское множество является солнцем. В нормированном пространстве произвольное солнце (и в частности, ограниченно компактное чебышёвское множество) выпукло по любому касательному направлению единичной сферы. В докладе будет рассказаны факты, относящиеся к классической выпуклости и выпуклости по касательным направлениям. Будут также рассмотрены другие геометрические и аппроксимативные свойства множеств и связи между ними.