Естественно градуированные алгебры Ли и геометрические структуры

Положительно градуированная алгебра Ли $ {\mathfrak g}=\oplus_{i=1}^{+\infty}{\mathfrak g}_i, $ называется естественно градуированной, если ее градуировка удовлетворяет условию $ [{\mathfrak g}_1,{\mathfrak g}_i]={\mathfrak g}_{i+1}, i \in {\mathbb N}. $
Мы будем обсуждать т.н. узкие естественно градуированные алгебры Ли: у них однородные компоненты ${\mathfrak g}_i$ не более, чем двумерны. Изучение такого класса алгебр Ли было инициировано Зельмановым и Шалевым в 90-х годах прошлого века. Оказалось, что характеристические алгебры Ли некоторых интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений в частных производных являются именно такими положительно градуированными алгебрами Ли.
Конечномерная естественно градуированная алгебра Ли ${\mathfrak g}$ называется также алгеброй Карно, она является нильпотентной и при некоторых дополнительных условиях ей можно сопоставить нильмногообразие $G/{\Gamma}$, где $G$ – односвязная нильпотентная группа Ли с касательной алгеброй Ли ${\mathfrak g}$, а $\Gamma \subset G$ - кокомпактная решетка. Мы постараемся также обсудить ограничения на структуру ${\mathfrak g}$, накладываемые существованием левоинвариантной комплексной структуры $J$ на нильмногообразии $G/{\Gamma}$.