Линейные динамические системы на графах

Линейные системы с переключениями (linear switching systems) вошли в литературу в конце 1980-х гг. после фундаментальных работ Молчанова, Пятницкого, Гурвица, и др. Их популярность среди математиков и инженеров не уменьшается как из-за многочисленных приложений (электрические цепи, нейронные сети, популяционная динамика), так и благодаря связи с другими направлениями (консенсус, мультиагентные системы). Линейной системой с переключениями называется система обыкновенных дифференциальных уравнений x' = Ax, где A(t) – n x n - матрица, которая при каждом t равна одной из матриц заданного семейства (для простоты – конечного) U = \{A_1, ..... A_m\}. Таким образом, A(t) можно рассматривать как функцию управления. Одной из основных задач является описание функций A(t), порождающих траектории x(t) наибольшего асимптотического роста. Недавно было замечено (Читур, Сигалотти, 2018), что во многих практических задачах приходится рассматривать не все траектории, а лишь те, у которых время между переключениями (dwell time) ограничено снизу некоторой константой T.
Мы покажем, что решение этой задачи может быть сделано с помощью недавней конструкции линейных систем на графах, идея которой восходит к работам Дау (марковские системы) и Козякина (системы с ограничениями на переключения). В этой конструкции каждой вершине графа соответствует линейное пространство, а каждому ребру – линейное отображение соответствующих пространств. Требуется найти траектории (пути вдоль графа) с максимальным асимптотическим ростом. Мы покажем, что эта задача эффективно решается с помощью построения инвариантной системы многогранников. Также будет сформулировано несколько открытых задач.