Аннотация:
Ответом на этот вопрос занимется пол-математики и почти вся физика, — более точную оценку дать невозможно, поскольку часто этот вопрос маскируется совсем непохожими на него.
Но это не значит, что, если вы видите в задаче $n$ или даже $2^n$, то надо сразу задавать этот вопрос или немедленно переходить к пределу по $n$ — «асимптотничать» надо с умом.
Мы рассмотрим несколько таких примеров.
Пример № 1. Как устроена подстановка $n$ предметов (т.е. элемент симметрической группы $S_n$) когда $n$ большое?
1. Простая задача: сколько циклов в произвольной («типичной» или «случайной» — это будет уточнено) подстановке при большом $n$?
2. Задача посложнее с неожиданным ответом: каким может быть типичное соотношение между суммами длин циклов четной и нечетной длины — при больших $n$?
3. Трудный вопрос: в скольких циклах содержится 99% предметов у 99% всех подстановок при очень больших $n$ (ответ — в 11).
Оказывается, все эти вопросы можно задать и получить те же ответы в задаче о совсем не похожих объектах, а именно: о простых делителях типичных натуральных чисел, Например, аналог последней задачи: произведение 11 старших простых делителей для большинства (99%) натуральных чисел $n$ почти равно этому числу $=n^{0.99}$, если $n$ очень большое.
Эти задачи привели к замечательной теории случайных сходящихся рядов, которая нашла применения в популяционной генетике, в теории запасов, и даже в теории представлений и ее применениях к физике.
Пример № 2.
Рассмотрим разбиения натурального числа в сумму натуральных же слагаемых расположенных в невозрастающем порядке. Разбиениями занимался еще Л. Эйлер, а Харди и Раманауджан нашли в начале ХХ века очень сложную формулу для числа таких разбиений (простой формулы не существует!). Как выглядит типичное разбиение числа $n$, когда $n$ очень большое. Первым этот вид нашел физик Темперли 60 лет назад, правда, без всякого доказательства. А мы попробуем доказать, что предельная форма разбиения, (которое можно геометрически изображать диаграммой Юнга) существует и найдем ее.
Пример № 3.
Рассмотрим выпуклые многоугольники на плоскости, вершины которых лежат на целочисленной решетке (т.е. имеют целые координаты). Зафиксируем площадь многоугольников, равную $n^2$, и будем считать, что центр тяжести вершин этих многоугольников лежит в начале координат. Как выглядит типичный многоугольник при очень большом $n$, если его сжать в $n$ раз? А если фиксировать не площадь, а квадрат, в котором лежат многоугольники?
Обратная связь: