Конечно-аддитивные меры на неустойчивых многообразиях диффеоморфизмов Аносова

На компактном связном римановом многообразии $M$ рассмотрим гладкий диффеоморфизм Аносова $F$. Диффеоморфизм Аносова задаёт два трансверсальных семейства подмногообразий, называемых устойчивыми и неусточивыми, инвариантных относительно диффеоморфизма. Вдоль устойчивого происходит равномерное сжатие, вдоль неустойчивого - наоборот, равномерное растяжение.
Диффеоморфизм Аносова, если он топологически перемешивающий и хотя бы $C^2$-гладкий, обладает тем свойством, что его (не)устойчивые подмногообразия плотны в $M$, и более того, равномерно распределены. Для самого простого примера – диффеоморфизма тора $F(x,y)=(2x+y,x+y) \, {\rm mod}\, {\mathbb Z}^2$ – равномерная распределённость означает, что если взять достаточно большой кусок неустойчивого подмногообразия (оно в этом случае одномерно), то его относительная (лебеговская) длина, попавшая в какое-то открытое множество $A$ в торе, будет стремиться к лебеговой мере множества $А$. В нелинейном случае вместо лебеговой меры на торе нужно брать меру Синая-Рюэлля-Боуэна $\mu_V$, которая по своему определению максимизирует функционал $h_\mu + V(\mu)$ на вероятностных мерах на $M$, – здесь $h_\mu$ – метрическая энтропия меры, а $V(\mu)$ – среднее по мере $\mu$ функции $V$ равной минус логарифму якобиана $F$, суженного на неустойчивое подпространство.
Мы будем рассматривать равномерное распределение по мере $\mu_0$ максимальной энтропии, которая является такой гиббсовской мерой, как мера СРБ, но с $V = 0$. Ей отвечает мера на неустойчивых слоях, равномерно растягивающаяcя под действием $F$ с константой растяжения равной $e^{h_{\mu_0}}$. Теорема Маргулиса утверждает, что если взять непрерывную функцию $f$ на $M$, и в то же время итерировать отображением $F$ единичный шар (если слоение одномерно – то дугу длины 1) в неустойчивом многообразии, то нормированные средние по этим шарам будут сходиться к среднему функции $f$ по мере $\mu_0$, и эта сходимость равномерна по выбору неустойчивого слоя.
Главный результат предстоящего доклада – качественное описание отклонения от $\mu_0(f)$ для $C^2$-гладких функций $f$.
Основной мотивацией (и в то же время источником используемых методов) послужила работа Буфетова и Форни, в которой исследовались отклонения эргодических средних гладких функций от её среднего по фазовому пространству для потоков орициклов на компактных двумерных поверхностях постоянной отрицательной кривизны. Подобно неустойчивым подмногообразиям диффеоморфизмов Аносова, орициклы равномерно распределены в фазовом пространстве потока. С другой стороны, орициклы растягиваемы геодезическим потоком, роль которого играет $F$.
Метод, придуманный Буфетовым, предлагает использовать на растягивающихся (то есть неустойчивых) слоях, помимо обычных мер, комплекснозначные конечно-аддитивные меры, инвариантные относительно голономии вдоль листов трансверсального устойчивого слоения – такие меры, как оказывается, хорошо приближают эргодические интегралы. Постараемся применить этот подход к диффеоморфизмам Аносова.
Одна из трудностей заключается в том, что, во-первых, на неустойчивых слоях не задан поток. Во вторых, в случае, рассматриваемом Буфетовым и Форни, голономия задаётся трансверсальным потоком орициклов: в случае же диффеоморфизмов Аносова голономия вдоль устойчивых многообразий хотя и абсолютно непрерывна, но лишь гёльдерова.
Тем не менее, следуя подходу Гуэзеля и Ливерани, мы построим банахово пространство $\mathfrak B$ обобщённых функций, реализующее конечно-аддитивные меры на неустойчивых слоях (хотя и не все: соответствующие обобщённые функции непрерывно дифференцируемы по направлениям, близким к устойчивому). Анализируя спектр действия диффеоморфизма на построенном банаховом пространстве, мы а) найдём конечномерное подпространство, отвечающее голономно-инвариантным конечно-аддитивным мерам; б) получим подробную асимптотику для послойных интегралов гладких функций по мере Маргулиса.