Проблема Зарембы и аддитивная комбинаторика

Проблема Зарембы из теории цепных дробей гласит, что для любого натурального $q$ найдется целое число $0 < a < q$, взаимно простое с $q$, такое, что для разложения в конечную цепную дробь рационального числа $a/q = [x_1,....,x_s]$ выполнено $x_j \le 5$. До настоящего момента гипотеза остается открытой (исключая некоторые частные случаи), хотя в направлении этой гипотезы различные результаты были получены такими математиками, как Коробов, Нидеррайтер, Бурган, Конторович, Фроленков, Кан и др. С помощью методов аддитивной комбинаторики (используются результаты о росте в группе $SL_2 (\mathbf{F}_p))$ мы получаем точную верхнюю оценку на число Зарембовских чисел $a$, то есть таких $a$, для которых гипотеза Зарембы справедлива. Кроме того, мы показываем, что из некоторого усиления наших верхних неравенств вытекает и требуемая оценка снизу. Также мы расскажем о наших новых результатах (совм. с М. Рудневым) по росту в группе $SL_2 (\mathbf{F}_p)$ и в группе $Aff_2 (\mathbf{F}_p)$.