Конечно-аддитивные меры на инвариантных слоениях диффеоморфизмов Аносова

Рассмотрим компактное многообразие с римановой метрикой и $C^3$-гладкий сохраняющий ориентацию диффеоморфизм Аносова.
Мы будем рассматривать конечно-аддитивные комплекснозначные меры на неустойчивых слоях, определённые на областях с кусочно $C^1$-гладкой границей. Конечно-аддитивные меры на инвариантных слоениях были впервые рассмотрены в работах Буфетова, посвящённых асимптотике эргодических интегралов потоков параллельного переноса на плоских поверхностях. В дальнейшем метод был развит в работах Буфетова-Соломяка о замощениях, и Буфетова-Форни о потоках орициклов на компактных двумерных поверхностях постоянной отрицательной кривизны.
В нашем случае метод конечно-аддитивных мер позволяет доказать теорему о скорости сходимости в теореме Маргулиса о равномерном распределении для неустойчивых слоёв в фазовом пространстве. А именно, для $C^2$-гладких функций с нулевым средним по мере максимальной энтропии мы устанавливаем, что правильным образом нормированные средние по итерациям единичного шара в неустойчивом слое, взятые по мере Маргулиса, сходятся равномерно (по выбору слоя) к конечно-аддитивной мере единичного шара.
Доказательство основано на построении специального банахова пространства обобщённых функций, в котором трансфер-опреатор диффеоморфизма квазикомпактен (то есть вне некоторого диска с центром в нуле его спектр состоит из конечного числа точек, являющихся собственными значениями конечной кратности). Построенное банахово пространство реализует конечно-аддитивные меры на неустойчивых слоях, являющиеся регулярными в том смысле, что соответствующие обобщённые функции непрерывно дифференцируемы по устойчивому направлению.
Существуют различные способы построения подобных банаховых пространств: так, метод, придуманный Балади и Цуджии, использует скорость роста/убывания преобразования Фурье обобщённых функций в соответственно устойчивых/неустойчивых конусах. Альтернативный метод Фора и Шёстранда использует также полуклассический анализ.
В своей работе докладчик следует подходу Гуэзеля-Ливерани, основанном на геометрии инвариантных слоений. Оказывается, что в построенном банаховом пространстве собственные функции трансфер-оператора в с собственными значениями, близкими к спектральному радиусу, задают конечно-аддитивные меры, инвариантные относительно голономии вдоль листов устойчивого слоения. Голономно-инвариантные меры и задают качественную асимптотику для рассматриваемых интегралов.