Задача Ньюмана-Шапиро и весовая аппроксимация в пространстве Фока

В 1966-м году Д. Ньюман и Х.Шапиро поставили следующую задачу. Пусть $G$ функция из пространства Фока $\mathcal{F}$ такая, что $G(z)e^{wz}\in\mathcal{F}$ для любого $w\in\mathbb{C}$. Верно ли, что линейными комбинациями функций из семейства $G(z)e^{wz}$ можно приблизить любую функцию (из пространства Фока) делящуюся на $G$? Этот вопрос тесно связан со структурными свойствами оператора, сопряженного к оператору умножения на $G$. Нам удалось опровергнуть эту гипотезу. Однако при некоторых дополнительных условиях на $G$ гипотеза оказывается верной. Доклад основан на совместной работе с А. Боричевым (Марсель).