Описание гомологий и когомологий Хохшильда групповой алгебры $C[G]$ при помощи группоида присоединенного действия группы $G$

Содержание доклада мотивировано сравнением результатов нашей последней работы, Арутюнов А.А., Мищенко А.С., (2018), (полный текст представлен в журнале «Математический сборник»), а также работы Арутюнова А.А., Мищенко А.С., Штерна, А.И., (2016), в которых описание алгебры внешних дифференцирований групповой алгебры $R[G]$ конечно-представимой дискретной группы $G$ представлено в терминах комплекса Кэли группоида $\cal G$ присоединенного действия группы $G$, с результатами Бургеля (1985) и Benson (1995, 1991), которые описывают гомологии и когомологии Хохшильда групповой алгебры $R[G]$ в терминах классифицирующих пространств $BC\langle x\rangle$ централизаторов $C\langle x\rangle$ сопряженных классов $\langle x\rangle$ группы $G$. Пространство внешних дериваций имеет описание в виде одномерных когомологий Хохшильда той же групповой алгебры (см. Книгу Р. Пирса (1986), определение «a», стр. 248). Поэтому возникает естественный вопрос: возможно ли описать все когомологии Хохшильда групповой алгебры в терминах геометрических построений на группоиде сопряженного действия группы по аналогии с внешними деривациями групповой алгебры? Мы предлагаем единый способ описания гомологии и когомологий Хохшильда групповой алгебры $C[G]$ в терминах классифицирующего пространства $B\cal{G}$ группоида $\cal G$ присоединенного действие группы $G$. В этих терминах гомологии Хохшильда групповой алгебры $C[G]$ совпадают с гомологиями классифицирующего пространства $B\cal{G}$. Когомологии Хохшильда также можно отождествить с инвариантами классифицирующего пространства $B\cal{G}$ группоида $\cal{G}$, а именно с когомологиями этого пространства, но (в отличие от Бенсона) с некоторыми условиями конечности для коцепей на пространстве $BC_G(g)$.