Случайные блуждания на группах и гипотеза Атьи об $L^2$-числах Бетти

Случайные блуждания на «группах мигаюших лампочек» (т.е. сплетениях, $\wr$ (wreath product), целочисленных решёток и группы порядка два) впервые были рассмотрены А. М. Вершиком и В. А. Каймановичем в 1983 году. Например, ими было доказано, что граница Пуассона для таких групп тривиальна в случае, когда размерность решетки равна 1 или 2, и нетривиальна в случае более высоких размерностей.
В 1999 году докладчик в совместной работе с А. Жуком вычислил спектральную меру дискретного оператора Лапласа на группе $\mathbf Z\wr\mathbf Z/2\mathbf Z$ (для специальной системы образуюших). Неожиданно оказалось, что она дискретна. Таким образом был обнаружен первый пример группы с нетривиальной дискретной компонентой в спектральной мере. Сушественным моментом в решении этого вопроса оказалось представление $\mathbf Z\wr\mathbf Z/2\mathbf Z$ как группы, порождённой автоматом с двумя состояниями.
В 2000 году в совместной работе с П. Линнелом, Т. Шиком и А. Жуком докладчик применил результат о спектральной мере к построению семимерного замкнутого многообразия, у которого третье $L^2$-число Бетти равно 1/3. Тем самым был дан ответ на вопрос Атьи о сушествовании многообразия с нецелым $L^2$-числом Бетти, а также опровергнута так называемая Сильная гипотеза Атьи.