О новом методе ординального анализа теории множеств Крипке-Платека

Теория множеств Крипке-Платека широко известна как в теории рекурсии, так и в теории доказательств. В теории рекурсии она служит целям аксиоматизации класса допустимых множеств, в рамках которых возможно естественное обобщение вычислимости на случай бесконечных объектов. В теории доказательств известен вариант теории множеств Крипке-Платека с аксиомой бесконечности KPω, которая часто рассматривается как одна из наиболее слабых непредикативных теорий. Теоретико-доказательственные свойства KPω на настоящий момент достаточно хорошо изучены. Наиболее разработанной техникой для анализа KPω и её расширений являются инфинитарные выводы, снабженные контролирующими операторами. Я расскажу об альтернативном подходе к анализу KPω, который является прямым переносом на случай теорий множеств метода теоретико-доказательственного анализа PA, предложенного Л.Д. Беклемишевым. В частности, этим методом для KPω получена характеризация класса доказуемых Σ функций (прямой аналог вычислимых функций для допустимых множеств). Центральная часть этого метода состоит в использовании формулы Шмерля, сводящей трансфинитные итерации более сильных принципов рефлексии к более длинным трансфинитным итерациям слабых принципов рефлексии. Ранее эта формула была известна только для случая итераций вдоль рекурсивных систем ординальных обозначений, что было достаточно для случая PA. Для целей анализа KPω мы разрабатываем её вариант, в котором итерация производится вдоль вполне упорядоченных классов.