Обобщенные пары Гельфанда (обзор)

Группа $G=SL(2,\mathbf R)$ действует на верхней комплексной полуплоскости дробно-линейными преобразованиями, причем пространство $L^2$ разлагается (без кратности) в прямой интеграл неприводимых представлений. Это свойство было изучено и обобщено Гельфандом и другими на пары $(G,K)$, где $G$ — группа Ли, а $K$ — компактная подгруппа. Аналогом верхней полуплоскости служит пространство $G/K$. Пары $(G,K)$, для которых $L^2(G/K)$ разлагается без кратности, называются парами Гельфанда. Наиболее известные примеры получаются, если $G$ — полупростая группа Ли, а $K$ — максимальная компактная подгруппа.
Обсуждено обобщение понятие пары Гельфанда на ситуацию, когда $K$ — замкнутая, не обязательно компактная подгруппа $G$, и приведен ряд примеров.