Группы $\Gamma_{n}^{4}$, представления групп кос на поверхностях, диаграммы Вороного, кластерные алгебры и инварианты узлов

В 2015 году автор построил теорию групп $G_{n}^{k}$, описывающую движение $n$ частиц, хорошо себя ведущих относительно некоторого хорошего свойства, зависящего от набора из $k$ частиц при выполнении некоторых естественных условий. Простейшим примером является свойство “три точки лежат на одной прямой”, что приводит к представлению групп (крашеных) кос.
В докладе речь пойдет о родственных группам $G_{n}^{4}$ группам $\Gamma_{n}^{4}$, которые отвечают перестройкам диаграмм Вороного (флипам) и свойству “четыре ближайшие точки лежат на одной окружности”. В отличие от групп $G_{n}^{k}$, новые группы непосредственно применимы к изучению кос на двумерных поверхностях. С их помощью можно изучать как “топологические”, так и “геометрические” свойства двумерных поверхностей. Подгруппа конечного индекса группы $\Gamma_{n}^{4}$ имеет представление, тесно связанное с кластерными алгебрами и дающее инварианты узлов.
В докладе будет описан широкий круг нерешенных задач.