О топологических препятствиях глобальной стабилизации перевернутого маятника

Если конфигурационное пространство управляемой системы замкнуто (компактно и без края), а управление с обратной связью не зависит от времени и решения соответствующей системы существуют, единственны и непрерывно зависят от начальных данных, то у системы не может существовать глобально асимптотически устойчивого положения равновесия. Данный результат является прямым следствием того, что никакое замкнутое многообразие не является стягиваемым.Рассмотрим классическую управляемую систему, представляющую собой плоский перевернутый маятник, управление которым осуществляется путем задания ускорения его точки подвеса, которая может двигаться вдоль горизонтальной прямой. При этом мы считаем, что маятник не может находиться ниже этой прямой (например, можно рассмотреть какую-либо модель удара о плоскость). Показано, что, несмотря на стягиваемость пространства положений, глобальная стабилизация невозможна при произвольной модели удара о плоскость (при некоторых не слишком обременительных условиях на тип устойчивости положения равновесия). Точнее, показано, что в такой системе будет всегда существовать семейство решений, которые одновременно отделены от положения равновесия и от горизонтальной плоскости на всем интервале существования. Это утверждение без труда переносится на другие подобные механические управляемые системы (маятник на тележке, сферический маятник, перевернутый маятник с дополнительным управляющим моментом и др.).