Новое обобщение цепной дроби

Алгоритм разложения числа в обычную цепную дробь обладает многими замечательными свойствами. В том числе:
1. Он прост.
2. Он дает наилучшие рациональные приближения к числу.
3. Он периодичен для квадратичных иррациональностей.
В XVIII, XIX и XX веках были сделаны многочисленные попытки обобщить этот алгоритм на векторы (Эйлер, Эрмит, Якоби, Дирихле, Пуанкаре, Гурвиц, Брун, Минковский, Клейн, Вороной, Перрон, Скубенко, Арнольд и др.). Но пока так и не найден алгоритм, обладающий свойствами 1 и 2 и свойством
3$'$. Периодичность для кубических иррациональностей.
Только алгоритм Вороного обладает свойствами 2 и 3$'$, но он довольно громоздок. Многогранники Клейна–Скубенко–Арнольда, хотя и дают геометрическую интерпретацию наилучших приближений, но не дают основы для хорошего алгоритма, что было выяснено в работах докладчика и В. И. Парусникова. Алгоритмические и геометрические концепции, заложенные в указанные обобщения, видимо, недостаточно отражали фундаментальные свойства цепной дроби.
В докладе предложена новая двумерная концепция цепной дроби, которая затем обобщается на трехмерную ситуацию и позволяет построить алгоритм, обладающий свойствами 1, 2 и 3$'$. Рассмотрены примеры с подробными вычислениями по новому алгоритму.