Оценки картановского типа для потенциала Коши

В 1928 г. А. Картан получил оценку для размера плоского множества, на котором модуль многочлена с комплексными корнями превосходит заданное число. Эта лемма играет важную роль в теории функций; ее можно трактовать как оценку логарифмического потенциала с дискретной мерой, целочисленные заряды которой находятся в нулях многочлена и равны кратностям этих нулей. Методом Картана можно оценивать потенциалы и с другими положительными ядрами. Изучение размеров множества $Z(P,m):=\{z\in\mathbf C:|Cm(z)|>P\}$ для потенциала (преобразования) Коши $Cm(z)=\int_C(\xi-z)^{-1}\,dm(\xi)$ с аналогичной мерой $m$ было начато Макинтайром и Фуксом в 1940 г. (в этом случае потенциал Коши равен логарифмической производной соответствующего многочлена). Но поставленная ими задача была решена лишь в прошлом году в совместной работе Дж. Андерсона и Эйдермана (ДАН, 2005). Прогресс оказался возможным благодаря новому аппарату, развитому в последние 10 лет Мельниковым, Толсой и другими, приведшему к недавним замечательным достижениям в теории аналитической емкости. В докладе было рассказано о некоторых из этих понятий и фактов и их применении к решению задачи Макинтайра и Фукса, а также о совсем недавнем обобщении этой задачи на потенциалы Коши с произвольными мерами $m$.