Комбинаторный поток Риччи с вырождениями

В 1998 году Ричард Гамильтон опубликовал работу, в которой было доказано, что на замкнутой ориентируемой двумерной поверхности, отличной от сферы, решение уравнение потока Риччи существует для любой начальной метрики и сходится к метрике постоянной кривизны. Аналогичное утверждение ему удалось доказать и для сферы в предположении, что у начальной метрики кривизна всюду положительна. Несколько лет спустя Беннет Чоу доказал что и для сферы с произвольной начальной метрикой поток Риччи сходится к метрике постоянной кривизны.
Еще позже Беннет Чоу и Фенг Луо нашли удачный комбинаторный аналог двумерного потока Риччи. В их теории в качестве метрики используется так называемая метрика упаковки кругов, которую использовал Терстон в своей книге по трехмерным многообразиям. Такая метрика определена для триангулированной поверхности, на ребрах которой зафиксированы веса. При этом на гранях триангуляции (одновременно на всех) метрика рассматривается либо евклидова, либо гиперболическая. При определенных условиях комбинаторный поток Риччи сходится к метрике постоянной кривизны. В предположении, что все веса принадлежат отрезку $[0,1]$, эти условия в точности совпадают с условиями Терстона, гарантирующими существование на триангулированной поверхности метрики постоянной кривизны.
В наших совместных с Р. Пепа работах нам удалось ослабить требование положительности весов так, что теорема о сходимости потока Риччи к единственной метрике постоянной кривизны остается верной. С другой стороны, нам удалось найти примеры триангулированных поверхностей с весами, некоторые из которых отрицательны, для которых некоторые начальные метрики под действием потока Риччи вырождаются. При этом в вычислительных экспериментах наблюдались закономерности в предельном поведении вырождающихся метрик.
В докладе для триангулированной поверхности с весами на ребрах мы введем понятие метрики упаковки кругов с вырождениями и докажем, что при условиях, похожих на условия Терстона-Чоу-Луо, под действием комбинаторного потока Риччи любая начальная метрика сходится к метрике почти постоянной кривизны, при этом такая метрика единственна.