Подалгебры сдвига аргумента и кристаллы Кашивары (по совместной работе с А. Виксом, Дж. Камницером и И. Халачевой)

Подалгебры сдвига аргумента образуют семейство максимальных пуассоново-коммутативных подалгебр в симметрической алгебре $S(\mathfrak g)$ полупростой алгебры Ли $\mathfrak g$, параметризованное регулярными полупростыми элементами алгебры $\mathfrak g$. Они были впервые построены А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко в 1978 году в связи с уравнением Эйлера на группах Ли. Эти подалгебры поднимаются до коммутативных подалгебр в универсальной обёртывающей алгебре $U(\mathfrak g)$; таким образом возникает задача описания спектра этих подалгебр в конечномерных представлениях. Согласно наблюдению Э. Б. Винберга, подалгебра Гельфанда–Цетлина является предельным случаем поднятия алгебры сдвига аргумента в случае $\mathfrak g=\mathfrak{sl}_n$. Поэтому решение задачи о спектре можно считать обобщением и деформацией базисов Гельфанда–Цетлина (но для произвольной полупростой алгебры Ли!). С другой стороны, оказывается, что в общем случае проблема описания спектра является вырожденным случаем спектральной задачи для квантовой магнитной цепочки Годена. Это говорит, с одной стороны, о том, что простых явных формул для спектра этих подалгебр не существует, а с другой стороны, даёт способ всё же что-то про этот спектр сказать.
Я расскажу о естественной структуре кристалла Кашивары на спектре алгебры сдвига аргумента в конечномерном представлении алгебры Ли $\mathfrak g$. Это даёт немало информации о спектре алгебр сдвига аргумента, а также открывает массу новых (геометрических и комбинаторных) вопросов.