Гипотеза геометризации и работы Перельмана

Хорошо известна связь между топологией и метрической геометрией замкнутых двумерных поверхностей: на всякой такой поверхности можно ввести метрику постоянной кривизны, причем знак последней совпадает со знаком эйлеровой характеристики поверхности (положителен для сферы, ноль для тора и отрицателен для поверхностей рода выше 1).
Около 1980 года Уильям Тёрстон высказал гипотезу, что подобным образом, только значительно сложнее, обстоит дело с трехмерными многообразиями. Он описал восемь однородных трехмерных римановых геометрий (три геометрии постоянной кривизны и еще пять, однородных, но не изотропных) и обоснованно предположил, что всякое компактное трехмерное многообразие можно определенным образом разбить на куски, в каждом из которых можно ввести одну из восьми модельных геометрий. Гипотеза геометризации Тёрстона включает в себя в качестве частного случая гипотезу Пуанкаре о том, что связное односвязное ориентируемое трехмерное многообразие гомеоморфно сфере.
В течение 25 лет над программой геометризации трехмерной топологии работало множество математиков. Ими было получено большое количество частных результатов, но в целом гипотеза никак не поддавалась (особое сопротивление оказывали эллиптический и гиперболический случаи).
В цикле из трех препринтов 2002–2003 гг. Г. Перельман предложил доказательство гипотезы геометризации, основанное на исследовании эволюции риманова многообразия под действием потока Риччи. В 2006 году две независимые группы экспертов закончили изучение работ Перельмана, пришли к выводу, что доказательство правильное и опубликовали пространные тексты, в которых восполнены детали, отсутствовавшие в сжатых оригинальных препринтах.
В докладе было дано введение в трехмерную топологию, описана гипотеза геометризации и схематично рассказано о геометрической части рассуждений Г. Перельмана.