Торическая топология

Начиная с 1970-х годов, торические действия играют всё возрастающую роль в различных областях математики, а их изучение стимулирует возникновение новых взаимосвязей между алгебраической геометрией, комбинаторной и выпуклой геометрией, коммутативной и гомологической алгеброй, дифференциальной топологией и теорией гомотопий. По мере расширения этих приложений возникла целая новая область исследований, ставшая известной как торическая топология. Предметом изучения торической топологии являются алгебраические, комбинаторные, дифференциальные, геометрические и гомотопические аспекты важного класса действий тора с богатой структурой в пространстве орбит.
Первоначальный импульс этому развитию придала теория торических многообразий в алгебраической геометрии. С начала 1990-х годов идеи и методы торических многообразий начали проникать в топологию. Пространство орбит регулярного действия компактного тора $T^n$ несёт богатую комбинаторную структуру, отражающую распределение стационарных подгрупп. Во многих случаях топологию пространства с действием тора можно описать в терминах комбинаторики пространства орбит. Замечательно, что этот подход работает и в обратном направлении: в терминах топологических инвариантов пространств с действием тора удаётся интерпретировать и доказывать весьма тонкие комбинаторные результаты топологически.
Одной из основных здесь является конструкция момент-угол комплекса, переводящая «комбинаторную топологию» в «эквивариантную топологию». В наиболее общем виде эта конструкция сопоставляет симплициальному комплексу (или триангуляции) многообразие или комплекс с просто устроенным действием тора. В частном случае триангуляций сфер, получаемых как границы выпуклых многообразий, эта конструкция приводит к интересному семейству комплексных многообразий, не имеющих кэлеровой структуры. Эти многообразия также возникают в симплектической топологии как множества уровня отображений моментов для гамильтоновых действий тора, и задаются полными пересечениями вещественных квадрик.
Планируется дать обзор основных методов и результатов торической топологии. Среди новых результатов отметим недавно завершённое построение торических и квазиторических представителей в классах комплексных кобордизмов и вычисление колец когомологий момент-угол комплексов в терминах комбинаторных данных триангуляций.