Вычисления в исключительных группах

Одним из величайших математических открытий на рубеже XIX–XX веков было обнаружение 5 исключительных алгебр Ли / групп Ли / алгебраических групп, типов $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$ и $G_2$ Киллингом и Картаном. Позже Диксон и Шевалле построили их аналоги над произвольным, в частности, конечным полем, что было одним из решающих продвижений в Классификации конечных простых групп.
Группа типа $G_2$ представляется как группа матриц степени $7\times 7$ (или $8\times 8$) и похожа на классические группы. Но вот остальные исключительные группы довольно велики. Кроме того, в минимальных представлениях они задаются уравнениями степени 3 или 4 (уравнениями степени 2 можно задать, с точностью до унипотентной части, только произведения классических групп).
Поэтому вычисления в них считались совсем непростым делом. Для поля техника таких вычислений была развита бельгийской и голландской школами в 1950-х и 1960-х годах (Фрейденталь, Титс, Спрингер, Фельдкамп), но вот для кольца приходилось искать обходные пути, типа локализации.
Доклад посвящен вычислениям в больших исключительных группах как группах матриц степеней $27\times 27$, $56\times 56$, $248\times 248$ и $27\times 27$, соответственно.
В начале 1990-х годов автор, Плоткин и Степанов обнаружили, что все вычисления можно организовать так, чтобы использовать при этом не уравнения степени 3 или 4, а лишь КВАДРАТИЧНЫЕ уравнения на элементы одного столбца. Метод сведения к вычислениям такого типа, названный нами разложением унипотентнов, оказался чрезвычайно полезным во многих вопросах структурной теории.
Однако в последнее время в работах автора, Гавриловича, Николенко и Лузгарева выяснилось, что при помощи несложных теоретико-групповых соображений, можно организовать все вычисления так, чтобы использовать при этом только ЛИНЕЙНЫЕ уравнения на алгебру Ли (Доказательство из Книги). Используя этот метод, нам удалось передоказать и усилить основные структурные теоремы. Кроме того, этот метод работает не только на уровне $K_1$, но и на уровне $K_2$ (в группе Стейнберга).
Попутно было рассказано о некоторых других методах структурной теории алгебраических групп над кольцами, в частности, о методе локализации.