Динамика многоугольников и сверхбыстрые приближения, занятие 4

Динамика на множестве многоугольников $\Pi$ определяется отображением $f : \Pi \to \Pi$, причём основной интерес представляют $f$-траектории $Р \mapsto f (Р) \mapsto f (f (Р)) \mapsto f (f (f (Р))) \mapsto \ldots$ многоугольников $Р \in \Pi$. Мы рассмотрим два таких отображения — на множестве прямоугольников и на множестве вписанных шестиугольников. В первом случае одна сторона прямоугольника $f (Р)$ равна стороне квадрата с тем же периметром, что у $Р$, а другая – с той же площадью, что у $Р$. Во втором случае шестиугольник предлагается воспринимать как приближённый треугольник, который хотели описать вокруг окружности, но чуть-чуть промахнулись, и отображение $f$ постепенно исправляет неточность, заменяя секущие на касательные. Рассматриваемые конструкции роднит то, что все траектории с огромной скоростью приближаются к неподвижным точкам отображения $f$ (квадрату и шестиугольнику, всё-таки выродившемуся в треугольник). Обе были тщательно изучены ещё в 19-м веке, Гауссом и рядом менее известных авторов. Многие понятия и результаты комплексного анализа, теории специальных функций и алгебраической геометрии были развиты при продумывании этих конструкций. Изначально соответствующие теоремы объяснялись с помощью загадочных подстановок в интегралах; для нас же их общее понимание достигается на основе концепций современной математики. В курсе будут даны приложения развитой теории к сверхбыстрому приближению числа $\pi$ и ультраэллиптических интегралов.