О классификации однородных гиперболических многообразий

Хорошо известно, что для гиперболического многообразия $M$ группа $\operatorname{Aut}(M)$ его голоморфных автоморфизмов является группой Ли в компактно-открытой топологии. Классический результат Кобаяси говорит, что $\dim\operatorname{Aut}(M)$ не превосходит $n^2+2n$, где $n:=\dim M$, и равенство достигается только в случае, когда $M$ биголоморфно эквивалентно шару в ${\mathbb C}^n$. В работах 2001-2008 годoв мы явно нашли все гиперболические многообразия с $n^2-1\le \dim\operatorname{Aut}(M)<n^2+2n$, где $n\ge 2$. Уменьшать размерность $\dim\operatorname{Aut}(M)$ далее и продолжать получать обозримые классификации при всех $n\ge 2$ невозможно. Это видно, в частности, на примере областей Рейнхардта в ${\mathbb C}^2$, так как у большинства таких областей группа имеет размерность $2=n^2-2$. Тем не менее, оказывается, что получение явных разумных классификаций возможно и для $\dim\operatorname{Aut}(M)<n^2-1$ при дополнительном условии однородности многообразий. Мы предъявим явную классификацию однородных гиперболических многообразий для $n^2-6\le \dim\operatorname{Aut}(M)\le n^2-2$. Этот результат основан на двух фактах: (i) теореме Накажимы о том, что любое однородное гиперболическое многообразие биголоморфно эквивалентно области Зигеля второго рода в ${\mathbb C}^n$ и (ii) явном описании алгебры полных голоморфных векторных полей области Зигеля второго рода.