Критерий гладкости в бесконечности арифметического фактора трубы будущего (по совместной работе с О.В. Шварцманом)

Пусть $V$ — $n$-мерное пространство Минковского и $K<V$ — конус будущего. Трубой будущего называется область $T=V+iK$ в комплексификации пространства $V$. В этой области действует группа аффинных преобразований (группа Пуанкаре) $P$, являющаяся полупрямым произведением группы $V$ вещественных параллельных переносов и группы Лоренца $O(V)$. Труба будущего является моделью эрмитова симметрического пространства $D=O(2,n)/(O(2)xO(n))$ — симметрической области типа IV в классификации Картана. Арифметической группой в трубе будущего называется дискретная подгруппа $Г$ группы $P$, для которой объем факторпространства $P/Г$ конечен. Всякая арифметическая группа содержит решетку $L$ в пространстве $V$; факторгруппа $Г/L$ есть дискретная группа движений $(n-1)$-мерного пространства Лобачевского. Для заданной арифметической группы $Г<P$ факторпространство $T/Г$ (являющееся аналитическим пространством) каноническим образом вкладывается в пространство Штейна $(T/Г)^*$ путем добавления одной точки и конечного числа комплексных кривых, изоморфных верхней полуплоскости. В том случае, когда группа $Г$ является параболической подгруппой арифметической группы $\Delta<O(2,n)$, это вложение, грубо говоря, является частью компактификации Сатаке–Бейли–Бореля факторпространства $D/\Delta$. Основной результат состоит в том, что пространство (T/Г)* неособо тогда и только тогда, когда группа $Г$ порождается комплексными отражениями и фундаментальный многогранник группы $Г/L$ (которая в этом случае автоматически порождается вещественными отражениями в пространстве Лобачевского) является симплексом (что возможно только при $n<11$). В качестве гипотезы это было высказано в работе О.В. Шварцмана в 1985 г. Как следствие отсюда получается следующее утверждение: если $\Delta$ — арифметическая подгруппа группы $O(2,n)$, для которой факторпространство $D/\Delta$ некомпактно (но имеет конечный объем), то алгебра автоморфных форм $A(D,\Delta)$ может быть свободна только при $n<11$.