Действие группы Вейля на весовом пространстве нулевого веса

Пусть $G$ — простая (комплексная, или расщепимая, или компактная) группа Ли, а $\rho$ — конечномерное неприводимое представление этой группы (на пространстве $V$). Тогда можно определить действие группы Вейля $W$ группы $G$ на весовом подпространстве $V$, соответствующем нулевому весу (назовём его $V_0$). Особую роль в группе Вейля играет "самый длинный элемент" $w_0$, который все положительные корни переводит в отрицательные. Мы расскажем о решении следующего вопроса: в каких случаях $w_0$ действует на $V_0$ нетривиально? (Вопрос возник в связи с некоторым вопросом по динамике групп аффинных преобразований.)
Разумеется, когда $V_0$ само тривиально (то есть когда старший вес $V$ не лежит в решётке корней), то и действие тоже тривиально. В остальных случаях оказывается, что действие почти всегда нетривиально. Исключение составляют те представления, чей старший вес кратен одному из фундаментальных весов с коэффициентом, не превышающим некоторое пороговое значение. Эти пороговые значения зависят от группы и от веса и выстраиваются в очень интригующую таблицу.