Функторы lim^p и алгебраическая топология сепарабельных метрических пространств

Сепарабельное метрическое пространство X можно аппроксимировать конечными симплициальными комплексами с двух сторон:
1) нервами Q_{\alpha\beta} открытых покрытий компактных подмножеств K_\alpha\subset X,
2) конечными подкомплексами Q_{\alpha\beta} нервов P_\beta открытых покрытий X.
Это приводит к хорошо известному гомоморфизму
colim_\alpha lim_\beta H_n(Q_{\alpha\beta}) -> lim_\beta colim_\alpha H_n(Q_{\alpha\beta})
и аналогичному гомоморфизму в когомологиях.
Проблема 1. Вычислить ядра и коядра этих гомоморфизмов. В частности, обязаны ли они быть сюрьективными, если X локально компактно?
Здесь получены частичные ответы, связанные с функтором lim^2, новым функтором lim^1_{fg} и несколькими утверждениями, недоказуемыми и неопровержимыми в обычной теории множеств ZFC.
Проблема 2. Если указанные гомоморфизмы подправить с использованием функторов lim^p, станут ли они изоморфизмами?
Этот вопрос формулируется аккуратно в терминах спектральной последовательности Бусфилда-Кана/Араки-Йошимуры. Есть подозрение, что на него невозможно ответить в ZFC. Однако, получен положительный ответ на модифицированную версию этого вопроса, в которой функторы lim^p исправлены с учётом естественной топологии на индексном множестве. (В случае когомологий; а в случае гомологий - только если X конечномерно.)
Проблема 3. Если указанные гомоморфизмы подправить с использованием функторов holim и hocolim и с заменой гомологий на гомотопии, станут ли они изоморфизмами?
Аккуратная формулировка этого вопроса такова: совпадает ли сильный шейп пространства X с его компактно порождённым сильным шейпом?
Есть подозрение, что на этот вопрос тоже невозможно ответить в ZFC. Однако, получен положительный ответ на модифицированную версию этого вопроса, в которой обе теории гомотопий (сильный шейп и к. п. сильный шейп) исправляются с учётом естественной топологии на индексном множестве, что приводит к одинаковому результату (если пространство X - польское, т.е. метризуемо полной метрикой).
Доказательства можно найти препринтах https://arxiv.org/abs/1809.00023 , https://arxiv.org/abs/1809.00022 и https://arxiv.org/abs/1808.10228 . Доказательства к предыдущему докладу (об аксиомах теорий гомологий, апрель 2018) можно найти в препринте https://arxiv.org/abs/1808.10243 .