Спектральная теория краевых задач для ОДУ и гауссовские случайные процессы

При оценке вероятностей редких событий во многих задачах теории вероятностей и математической статистики используются асимптотики больших и малых уклонений центрированных гауссовских случайных процессов $X$ в различных нормах. В случае $L_2$-нормы эти асимптотики тесно связаны со свойствами собственных чисел интегрального оператора, ядро которого — ковариационная функция соответствующего процесса $GX(s,t)=\mathbf EX(s)X(t)$. Наиболее сильные результаты удается получить в ситуации, когда $G_X$ является функцией Грина краевой задачи для обыкновенного дифференциального оператора. Для этого потребовалось, в частности, уточнить классические результаты Биркгофа о спектрах дифференциальных операторов на отрезке.
В докладе дан обзор результатов последних лет по этой тематике. Часть результатов получена совместно с Я. Ю. Никитиным.