Спектральная двойственность и гипотеза Смилянского для внутреннего и внешнего лапласианов Неймана в $\mathbf R^3$

Пусть $\Gamma$ — оболочка нулевой толщины, разбивающая $\mathbf R^3$ на две области, внутреннюю и внешнюю. Рассмотрим лапласианы Дирихле и Неймана $L^D_{int}$, $L^D_{out}$, $L^N_{int}$, $L^N_{out}$.
Узи Смилянский в 1995 г. сформулировал гипотезу о спектральной двойственности этих лапласианов: векторные нули амплитуды рассеяния внешней задачи Дирихле совпадают с собственными числами внутренней задачи Дирихле. Эта гипотеза была сначала подтверждена численными расчетами, а вскоре доказана, в двумерном случае, Экманом и Пилле.
Мы предлагаем доказательство спектральной двойственности для внутреннего и внешнего лапласианов в $L_2(\mathbf R^3)$. Оно допускает обобщение на лапласианы Неймана в конечномерном евклидовом пространстве.
Доклад основан на совместной работе с Г. Мартином.