О топологическом аналоге гипотезы Гротендика–Серра, занятие 1

Пусть $Х$ — это подмножество в комплексном векторном пространстве вида ${F=0}$, где $F$ — многочлен от соответствующего числа переменных. Более обще, пусть $Х$ — это подмножество вида ${F_1=F_2= \dots F_r=0}$ в комплексном векторном пространстве, где $F_i$ – многочлены. Мы будем предполагать, что $Х$ гладкое связное как комплексное многообразие. Если $g$ — еще один многочлен, то $X_g$ — это подмножество в $Х$, где $g$ не равен нулю. Будем предполагать, что $X_g$ не равен $Х$. Будет доказана следующая теорема и различные ее обобщения. Теорема. Рассмотрим $Х$ как топологическое пространство с обычной комплексной топологией, в которой окрестностями являются шарики радиуса эпсилон. Пусть $E$ — комплексное топологическое расслоение над $Х$. Если $Е$ тривиально над $X_g$, то для каждой точки $х \in Х$ найдется многочлен $h$ такой, что
1) $h(x) \ne 0$;
2) сужение расслоения $Е$ на $X_h$ тривиально.
Другими словами $Е$ локально тривиально в топологии Зариского на $Х$. Сначала теорема будет доказана в одномерном случае, в котором она, вообще говоря, тривиальна. Однако нам будет важен метод. Далее мы воспользуемся обобщением метода Воеводского, чтобы доказать теорему в общем случае. В заключении мы докажем аналогичные теоремы для вещественного векторного расслоения, для главного расслоения со слоем окружность, для главного расслоения со слоем трехмерная сфера и наконец для главного расслоения слой которого — это произвольная компактная группа Ли. Доказательство использует только 2 свойства указанных типов расслоений и геометрию алгебраических многообразий. Вот эти 2 свойства:
а) возможность склейки расслоений; б) свойство гомотопической инвариантности: расслоений над $Х$ столько же, сколько расслоений над $X \times \text{отрезок}$.